Nous allons maintenant chercher à montrer quelle forme géométrique est la plus avantageuse, la plus optimale.

 

Pavage du plan :

On cherche d'abord à montrer quelles formes dans le plan sont envisageables.

 

k est le nombre de polygones qui peuvent se rencontrer en un même point autour d’un même somment S. Au voisinage de ce sommet S le plan est entièrement recouvert par ces k polygones.

• n = nombre de côtés

• angle au centre : β = 360/n

Pour un polygone régulier, convexe de n cotés, l’angle de 2 côtés consécutifs est en degré :                                     avec n ≥ 3

On peut accoler k polygones par un sommet à condition que :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si n=3 => k=6 (triangle équilatéral)

Si n=4  k => 4 (carré)

Si n=5, k n'est pas entier

Si n=6, k=3 (hexagone régulier)

 

Si n ≥ 7, k<3 ; Comme k doit être un entier naturel k=2 ou k=1.

 

· Cas n°1 : k=1

 

n - 2 = 2n

n = -2

 

n étant un nombre de côtés il ne peut pas être négatif. → Impossible

 

· Cas n°2 : k=2

 

2(n - 2) = 2n

2n = 2n - 4

0 = -4

→ Impossible !

 

Il n’y a donc que 3 polygones utilisables pour effectuer un pavage sans perte de place (k entier) : l'hexagone, le carré et le triangle:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pour tous les autres polygones k n'est pas un nombre entier et donc le pavage laisse des interstices ou provoque des superpositions.

 

Exemple de l’octogone:

 

 

 

 

 

 

 

 

Périmètre minimum pour la même aire

Examinons maintenant les périmètres de ces trois polygones réguliers en supposant que les aires soient égales : pour cela, l'aire A et le périmètre P s'exprimant en fonction du côté a, on peut  exprimer P en fonction de A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Donc à périmètre égal l’aire de l’hexagone régulier est le plus grand. Par conséquent, l’hexagone régulier est la figure qui pour couvrir une aire donnée a le plus petit périmètre. En choisissant ce type de pavage, l’abeille va faire une économie de cire autour des alvéoles. Cette forme est donc la plus ergonomique.